$L^p$ Spaces

Normed Linear Spaces^{노음선형공간}

이 장을 시작하기에 앞서, 집합 $E$는 실수 집합의 가측부분집합이고 집합족 $\mathcal{F}$는 $E$에서의 모든 유한(a.e. on E), 가측 실함수들의 모임으로 가정하자.

Def 함수간의 동치관계

만약 집합 E에서의 함수 $f,g$ 가 E의 거의 모든점(almost everywhere)에서 같다면 $f,g$를 동치^equivalent 라고 하며,

$f \cong g$

로 표기한다.

이때 위 동치관계는 함수족 $\mathcal{F}$ 를 분할하므로 (동치관계의 성질) 동치류^{equivalence classes} 들을 정의할 수 있다.

Def 동치류의 모임 $[f] = L^p(E)$ 를 다음과 같이 정의한다.

이때,

임을 이용하면, 임의의 동치류 $[f],[g] \in L^p(E)$ 와 임의의 실수 $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ 에 대해 $\alpha[f]+\beta[g]$ 도 $L^p(E)$ 의 원소임을 알 수 있다.

$\int_E\vert f+g\vert ^p\leq \int_E 2^p\vert f\vert ^p < \infty$ 이고, 스칼라곱에 대해서는 적분의 선형성으로부터 성립.

따라서, $L^p$ 공간은 선형공간임을 알 수 있다.

Def Essentially Bounded 함수 $f \in \mathcal{F}$ 에 대해 $M\geq 0$ 이 존재하여 E의 거의 모든 점(a.e.)에서 $\vert f(x)\vert \leq M$ 일 때, 함수 $f$를 essentially bounded 하다고 정의한다. (한국어로 어떻게 정확히 번역해야 하는지를 찾기가 어려웠다.)

이와 관련하여 우리는 $L^p$ 공간에서 $p$가 무한대일 때, 즉 $L^\infty(E)$ 인 경우는 적분으로 정의하지 않고, essentially bounded한 동치류 [$f$] 들의 모임으로 정의한다.

노음(Norm)

선형공간 X에서 정의되는 실함수 $\Vert \cdot \Vert : X \to \mathbb{R}$ 가 다음을 만족할 때 이를 노음이라고 정의한다.

임의의 함수 $f,g \in X$, 실수 $\alpha \in \mathbb{R}$ 에 대해:
(N1) $\Vert f+g \Vert \leq \Vert f \Vert + \Vert g \Vert$
(N2) $\Vert\alpha f\Vert = \vert \alpha\vert \cdot \Vert f \Vert$
(N3) $\Vert f \Vert \geq 0$ 이고 $\Vert f \Vert = 0 \quad \text{iff} \quad f=0$

노음이 정의된 선형공간 X를 노음선형공간이라고 하고, 노음이 1인 함수를 X에서의 단위함수(unit function) 라고 한다.

예시)

• $L^1(E)$ 공간에서 $\Vert f \Vert_1 = \int_E \vert f\vert$ 로 정의된 함수는 노음이다. (적분의 선형성, 단조성으로부터 자명)
• $L^\infty(E)$ 공간에서 $\Vert f \Vert_\infty = \inf[\text{essential upper bounds}]$ 로 정의된 함수는 노음이다.

후술하는 내용에서는 일반성을 잃지 않고 $L^p$ 공간에서의 노음을

로 정의하기로 한다.

L^p 공간에서의 주요한 부등식

우선, 앞서 정의한 $L^p$ 공간의 노음이 (N1)-(N3) 을 만족하는지를 살펴보자.

• (N1) 증명 필요 $\cdots$ Minkowski의 부등식
• (N2) 적분의 스칼라곱으로부터 자명하다.
• (N3) 체비셰프의 부등식 로부터 적분값이 0인 것과 함수가 거의 모든 점에서 0인 것은 동치임을 확인 할 수 있었고, 이로부터 N3가 성립함을 알 수 있다.

따라서, 우리는 노음의 요건 중 삼각부등식(N1) 이 성립하는지만 확인하면 된다.

영의 부등식^{Young's Inequality}

실수 $p \in (1,\infty)$ 에 대해 $q$가 $p$의 켤레수^conjugate 라고 하자. 이때 임의의 양의 실수 $a,b$에 대해 다음이 성립한다.

*켤레수 : $1/p + 1/q = 1$ 을 만족하는 수를 말한다.

pf. 주어진 p,q 에 대해 다항함수

$g(x) = \frac{x^p}{p}+\frac{1}{q}-x$

를 생각하자. 이때 도함수 $g'$은 $(1,\infty)$ 에서 0보다 크고 $x=1$에서 0이며, $(0,1)$ 에서는 0보다 작은 것을 확인할 수 있으므로,
$g(0)\geq 0$ 으로부터 $g \geq 0 \text{ on } (0,\infty)$ 이다.
따라서, $x\geq 0$ 일때 $x \leq x^p/p+1/q$ 이므로 $x = a/b^{q-1}$ 을 대입하면 부등식이 성립한다.

횔더 부등식^{Holder's Inequality}

켤레수 $p,q$ 와 두 함수 $f \in L^p(E)$, $g \in L^q(E)$ 에 대해:

1. $f\cdot g$ 는 적분가능하고
   $\int_E\vert f \cdot g\vert \leq \Vert f\Vert_p\cdot\Vert g\Vert_q$ 이다.

2. $f \neq 0$ 일 때, $f^{\ast}=\Vert f\Vert_p^{1-p}\cdot sgn(f) \cdot \vert f\vert ^{q-1}$ 로 정의하면 $f^{\ast} \in L^q(X,\mu)$ 이고 $\int_Ef\cdot f^{\ast} = \Vert f\Vert_p$ 이며 $\Vert f^{\ast} \Vert_q =1$이다.

($p=1$ 일 때)
$\Vert f \Vert_\infty$ 가 E에서 $f$의 essential upper bound 이므로,

$$\int_E\vert f\cdot g\vert \leq \Vert f\Vert_1\cdot\Vert g\Vert_\infty$$

이고, $f^{\ast}=\rm{sgn}(f)$ 이므로 2도 성립한다.

($p>1$ 일 때)

함수 $f,g$가 0이 아니라고 가정하자.(0일때는 자명함) 이때, 일반성을 잃지 않고 $\Vert f \Vert_p = \Vert g\Vert_p = 1$이라고 하자.(1이 아닌 경우는 함수를 노음으로 나누어 unit function으로 만들자.)
$f,g$ 가 적분가능하므로 E의 거의 모든 점에서 유한하고, 영의 부등식에 의해 E의 거의 모든 점에서

$\vert f\cdot g\vert \leq \vert f\vert ^p/p + \vert g\vert ^q/q$

가 성립한다. 따라서 양변을 적분하면,

$\begin{aligned}\int_E\vert f\cdot g\vert &\leq \frac{1}{p}\int_E\vert f\vert ^p + \frac{1}{q}\int_E\vert g\vert ^q \\ &= \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 \quad\therefore\end{aligned}$

이때 위에서 정의한 함수 $f^{\ast}$를 $f$ 의 켤레함수^{conjugate function}라고 정의한다.

이를 바탕으로 우리는 삼각부등식을 다음과 같이 증명할 수 있다.

민코우스키의 부등식^{Minkowski's Inequality}

함수 $f,g \in L^p(E)$ 가 $f+g \neq 1$ 이고 $p>1$ 이라고 가정하자. 횔더의 부등식으로부터,

$\begin{aligned}\Vert f+g \Vert_p &= \int_E (f+g)(f+g)^{\ast} \\&= \int_Ef\cdot(f+g)^{\ast} + \int_Eg(f+g)^{\ast}\\&\leq \Vert f\Vert_p\cdot\Vert(f+g)^\ast\Vert_q + \Vert g\Vert_p\cdot\Vert(f+g)^\ast\Vert_q\\&=\Vert f\Vert_p + \Vert g \Vert_p\end{aligned}$

따라서 삼각부등식이 성립한다.

코시-슈바르츠 부등식 횔더의 부등식에서 특별히 $p=q=2$ 인 경우를 코시-슈바르츠 부등식^{Cauchy-Schwarz Inequality} 라고 한다.

References

• Royden, H., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real analysis. China Machine Press.