1. Countability

Def 집합 $E$가 가산무한집합^{Countably finite set} : $E$가 자연수 집합 $\mathbb{N}$과 equipotent하다.

2. $\sigma$-Algebra

Def 집합 $X$의 부분집합들의 모임^collection $F$가 다음 조건을 만족하면 $F$를 $X$의 시그마 대수라고 한다.

P1. $\emptyset \in F$
P2. $F$가 여집합 연산^complement에 대해 닫혀있다.
P3. $F$가 가산개의 합집합 연산에 대해 닫혀있다.

example

• $X$의 가장 큰 시그마 대수 = $2^X$ (Power set of X)
• $X$의 가장 작은 시그마 대수 = $\lbrace \emptyset, \; X\rbrace$

또한, 위로부터 다음과 같은 명제가 도출가능하다.

Proposition. $X$의 부분집합들의 모임 $F$에 대해, $A$를 $F$를 포함하는 모든 $X$의 $\sigma$-algebra 의 교집합이라고 정의하면:

1. $A$도 $F$를 포함하는 시그마 대수이다.
2. $A$는 $F$를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이다.

이때 Initial Class $F$를 포함하는 모든 시그마 대수들의 교집합 $A$를 $\sigma(F)$ 로 표기한다.

Def 실수 Borel Sets의 모임 $\mathcal B$ : $\mathbb{R}$의 모든 열린 집합을 포함하는 가장 작은 $\mathbb{R}$의 $\sigma-algebra$
i.e. Borel Set : 모든 개집합들을 포함하는 가장 작은 시그마 대수의 원소

EX. $\mathscr G$ = Collection of subintervals of $\Omega = (0. 1]$, $\mathcal B = \sigma(\mathscr G)$로 두면
$\mathcal B$의 각 원소는 Unit Interval $(0, 1]$의 Borel 집합이다.

Other Borel Sets

1. $G_\delta$ set : 열린 집합들의 가산 교집합
2. $F_\delta$ set : 닫힌 집합들의 가산 교집합

$\Rightarrow$ 모두 Borel Set에 해당한다.

References

• Royden, H., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real analysis. China Machine Press.
• Probability and Measure, Billingsley
• A course in Probability, Chung