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Mathematics

Lebesgue Measure

Lebesgue Measure (르벡 측도) 1. Lebesgue Outer Measure Def 가산개의 비어 있지 않은 열린, 유계 구간열 $\lbrace Ik\rbrace \{k=1}^\infty$ 을 생각하자. 이때 임의의 집합 A에 대해서 $A\subseteq \bigcup{k=1}^\infty Ik$ 를 만족한다면 집합 A의 외측도(outer measure)을 다음과 같이 정...

2021. 11. 30.3 min read

Lebesgue Measure (르벡 측도)

1. Lebesgue Outer Measure

Def 가산개의 비어 있지 않은 열린, 유계 구간열 {Ik}_k=1∞\lbrace I_k\rbrace \_{k=1}^\infty 을 생각하자. 이때 임의의 집합 A에 대해서 A⊆⋃k=1∞IkA\subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k 를 만족한다면 집합 A의 외측도(outer measure)을 다음과 같이 정의한다.

m∗(A)=inf⁡{∑l(Ik)∣A⊆⋃k=1∞Ik}m^{\ast}(A) = \inf \lbrace \sum l(I_k)\vert A\subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k\rbrace

이때, l(I)l(I)는 구간의 길이를 의미한다.

이로부터 다음과 같은 추론이 가능하다.

EX 가산개의 원소를 갖는 집합 C의 측도는 0이다

pf. 집합 C가 C={cn:n∈N}C = \lbrace c_n : n \in \mathbb{N}\rbrace 으로 enumerate 되고, C의 덮개가 되는 구간열을 In=(cn−ϵ/2n+1,cn+ϵ/2n+1)I_n = (c_n - \epsilon/2^{n+1},c_n + \epsilon/2^{n+1})으로 두면 이 구간열은 C의 덮개이므로,

m∗(C)≤∑l(In)=∑ϵ/2n=ϵm^{\ast}(C) \leq \sum l(I_n) = \sum \epsilon/2^n = \epsilon

Prop 1 구간 I의 외측도는 구간의 길이와 같다.

Prop 2 외측도는 Translation에 대해 불변이다.

m∗(A+y)=m∗(A)m^{\ast}(A+y) = m^{\ast}(A)

Prop 3 (Countable Subaddity, 가산가법성) 가산개의 Collection Ek∈NE_{k \in \mathbb{N}}에 대해:

m∗(⋃k=1∞Ek)≤∑k=1∞m∗(Ek)m^{\ast}(\bigcup_{k=1}^\infty E_k) \leq \sum_{k=1}^\infty m^{\ast}(E_k)

2. 르벡 가측집합에 대한 시그마 대수

Def 어떤 집합 E가 가측 집합(measurable set)이다:

임의의 집합 A에 대하여 m∗(A)=m∗(A∩E)+m∗(A∩Ec)m^{\ast}(A) = m^{\ast}(A \cap E) + m^{\ast}(A \cap E^c)

이때, 외측도의 가산가법성(Prop 3)에 의해 A=(A∩E)∪(A∩Ec)A = (A \cap E) \cup (A \cap E^c) 로부터 m∗(A)≤m∗(A∩E)+m∗(A∩Ec)m^{\ast}(A) \leq m^{\ast}(A \cap E) + m^{\ast}(A \cap E^c) 이므로

집합 E가 Measurable 한 것과 m∗(A)≥m∗(A∩E)+m∗(A∩Ec)m^{\ast}(A) \geq m^{\ast}(A \cap E) + m^{\ast}(A \cap E^c) 한 것은 동치이다.

Prop 4 외측도가 0인 임의의 집합은 가측 집합이다.

Prop 5 유한개의 가측집합열의 합집합은 가측 집합이다.

Prop 6 집합 A와 유한개의 서로 소인 집합열 {Ek:k∈N}\lbrace E_k : k \in \mathbb{N}\rbrace 에 대해

m∗(⋃k=1nEk)=∑k=1nm∗(Ek)m^{\ast}(\bigcup_{k=1}^n E_k) = \sum_{k=1}^n m^{\ast}(E_k)

Prop 7 가산개의(countable) 가측집합열의 합집합은 가측 집합이다.

pf. Let E=⋃k=1∞EkE = \bigcup_{k=1}^\infty E_k then E=⋃k=1∞Ek′E = \bigcup_{k=1}^\infty {E_k}' where Ek′=Ek−⋃i=1k−1Ei{E_k}' = E_k -\bigcup_{i=1}^{k-1} E_i
이때 각 Ek′E_k'는 서로 소이다. 또한, Fn=⋃k=1nEkF_n = \bigcup_{k=1}^n E_k로 두면 Fn⊆EF_n \subseteq E 이므로 이는 Ec⊆FcE^c \subseteq F^c와 동치이다.
임의의 집합 A에 대해,

m∗(A)=m∗(A∩Fn)+m∗(A∩Fnc)≥m∗(A∩Fn)+m∗(A∩Ec)\begin{aligned} m^{\ast}(A) &= m^{\ast}(A \cap F_n) + m^{\ast}(A \cap F_n^c) \\ &\geq m^{\ast}(A \cap F_n) + m^{\ast}(A \cap E^c) \end{aligned}

이 성립하고,
Prop 6에 의해

m∗(A∩Fn)=∑k=1nm∗(A∩Ek)m^{\ast}(A \cap F_n) = \sum_{k=1}^n m^{\ast}(A \cap E_k)

이므로 n→∞n \to \infty 에 따라

∴m∗(A)≥m∗(A∩E)+m∗(A∩Ec)\therefore m^{\ast}(A) \geq m^{\ast}(A \cap E) + m^{\ast}(A \cap E^c)

Def 실수 R\mathbb{R}의 부분집합들의 모임이 시그마 대수일 조건은 다음과 같다.

C1. It contains R\mathbb{R}
C2. 여집합과 가산개의 합집합에 대해 닫혀있다.

Prop 8 모든 구간은 가측집합이다.

Def R\mathbb{R}의 부분집합들의 모든 시그마 대수들의 교집합이 열린 집합들을 포함한다면 이를 보렐 시그마 대수Borel σ\sigma-algebra라고 부른다. 또한, 보렐 시그마 대수의 각 원소를 보렐 집합Borel set이라고 정의한다. ⇒\Rightarrow 모든 보렐 집합은 가측 집합이다.

THM 9 보렐 집합들의 시그마 대수 B\mathcal B를 포함하는 가측 집합들의 모임 M\mathcal M 역시 시그마 대수이다. ⇒\Rightarrow 임의의 열린(혹은 닫힌)구간 및 Fδ,GδF_\delta, G_\delta 집합은 모두 가측 집합이다.

Prop 10 가측 집합 EE의 Translation E+yE+y 역시 가측 집합이다.

References

  • Royden, H., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real analysis. China Machine Press.