Lebesgue Measure (르벡 측도)

3. Outer / Inner Approximation of Lebesgue measurable sets

Excision Property

• 유한 외측도(finite outer measure)를 갖는 가측 집합 $A$가 $A \subseteq B$를 만족한다면

$m^{\ast}(B-A) = m^{\ast}(B)-m^{\ast}(A)$ (단, $B-A = B \cap A^c$)로 정의한다.

THM 11 실수집합 $\forall E \subset \mathbb{R}$ 에 대해서 다음은 $E$가 가측인 것과 동치이다.

(Outer Apx) 임의의 $\epsilon \gt 0$ 에 대해 $E \subseteq O$ 인 열린 집합 $O$가 존재한다. $m^{\ast}(O-E) \lt \epsilon$ (Inner Apx) 임의의 $\epsilon \gt 0$ 에 대해 $F \subseteq E$ 인 닫힌 집합 $F$가 존재한다. $m^{\ast}(E-F) \lt \epsilon$

위는 임의의 가측집합 E에 대해 측도가 0인 집합을 절단^excise할 수 있는 것을 말한다.

THM 12 정리 11과 같은 조건에서, 서로소인 열린구간열$\lbrace I_k\rbrace$의 합집합인 $O=\bigcup _{k=1}^\infty I_k$ 가 존재하여,

$m^{\ast}(E-O) + m^{\ast}(O-E) \lt \epsilon$

을 만족한다.

4. 가산가법성, 연속성 및 Borel-Cantelli Lemma

Def 르벡 측도^{Lebesegue Measure} : 외측도의 가측 집합으로의 제한^restriction

즉, 가측 집합 E에 대해 르벡 측도 $m(E)$는 $m^{\ast}(E)$과 같다.

Prop 13 르벡 측도는 가산가법성을 갖는다.

가산개의 서로소인 가측집합열 $\lbrace E_k\rbrace$에 대해, $\bigcup^\infty E_k$는 가측집합이며, $m(\bigcup^\infty E_k) = \sum^\infty m(E_k)$ 이 성립한다.

THM 15 (르벡 측도의 연속성^continuity) 증가(감소)하는 가측집합열 $\lbrace A_k\rbrace$($\lbrace B_k\rbrace$)에 대해 다음이 성립한다.

$m(\bigcup_{k=1}^\infty A_k)= \lim_{k \to \infty} A_k$

$m(\bigcap_{k=1}^\infty B_k)= \lim_{k \to \infty} B_k$

Def 가측집합 E에 대해 어떤 특성이 a.e. on E에 대해 성립한다: 동 특성이 성립하지 않는 E의 부분집합의 측도가 0임.

Borel-Canteli Lemma 가산가측집합열 $\lbrace E_k\rbrace$에 대해 $\sum^\infty m(E_k) \lt \infty$ 가 만족되면 거의 모든(almost all) $x \in \mathbb{R}$ 이 최대 유한 개의 각 $E_k$에 속할 수 있음.
i.e. 무한 개의 $E_k$에 속하는 원소들의 집합의 측도 = 0.

6. Cantor Set

Def 칸토어 집합(Cantor Set, $\Bbb C$)은 다음과 같이 정의된다:

$\Bbb C = \bigcap_{k=1}^\infty C_k$

1. 이때 $C_k$는 감소하는 폐집합열이고,

2. 각 $k$에 대해 $C_k$는 서로 소이고 길이가 $1/3^k$인 $2^k$개 폐구간의 합집합으로 정의된다.

   (EX) $C_0=[0,1]$, $C_1=[0,{1\over3}] \cup [{2\over3}, 1]$

이때, 칸토어 집합에 대해 다음 성질이 성립한다. Prop 19 칸토어 집합은 닫혀있고, 불가산이며, 측도 0인 집합이다.

증명

1. 폐구간의 합집합은 폐구간이므로 칸토어 집합 역시 폐집합이다.

2. Finite Subadditivity(유한가법성)에 의해 $m(C_k)=(2/3)^k$ 이므로 $m(\Bbb C)=0$ 이다.

References

• Royden, H., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real analysis. China Machine Press.