Lebesgue Measurable Function (르벡 가측함수)

1. Sums, Products, and Compositions

Def 다음 조건을 만족시키는 실함수 $f:E \to \mathbb{R}$ 는 르벡 가측함수^{Lebesgue Measurable Function}이다:

1. 정의역 E가 가측집합이다.

2. 임의의 실수 $c\in \mathbb{R}$에 대해 집합 $\lbrace x\in E\vert f(x)\gt c\rbrace$가 가측집합이다. (단, 2에서 부등호의 방향 및 등호 포함 유무는 무관함)

Prop 실함수 $f$가 가측함수인 것은 임의의 열린 집합 $O$에 대한 역상^{inverse image} $f^{-1}(O)$ 이 가측인 것과 동치이다.

Prop 실함수 $f:E\to \mathbb{R}$가 $E$에서 연속일 때 $E$가 가측집합이면 $f$는 가측함수이다.

pf. Since $f \in C(E)$, for open set $O$,
$f^{-1}(O)$ is also open set thus $f^{-1}(O) = E \cap U$ with open set $U$.

THM E에서 a.e. finite한 가측 실함수 $f, g$에 대해 다음 성질이 성립한다.

1. 선형성 : 임의의 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$에 대해 $\alpha f + \beta g$ 는 E에서의 가측함수이다.
2. $fg$는 E에서 가측함수이다.

2. 점별수렴과 단순함수 근사

Def 함수열 $f_n$이 $A$에서 $f$로 점별수렴^{pointwise converge}한다:

$\forall x \in A,\;\; \lim_n f_n(x) = f(x)$

Prop 함수열 $\lbrace f_n\rbrace$이 $E$에서 measurable하고, $f$로 a.e. 점별수렴한다면 $f$도 E에서 가측함수이다.

Def Simple Function (단순 함수)
$\varphi : E \to \mathbb{R}$ 이 가측 함수이고 치역의 원소가 유한개일 때 함수 $\varphi$를 단순 함수라고 한다.
만약 $\varphi$의 치역이 $\varphi(E) = \lbrace c_1 \ldots c_n\rbrace$ 으로 주어지면 다음 표현을 $\varphi$의 Canonical Representation이라고 한다.

$\sum_{k=1}^n c_k\cdot \chi_{E_k}$

where

$E_k = \lbrace x \in E : \varphi(x) = c_k\rbrace$

Simple Approximation Lemma E에서의 실함수 $f$가 유계이고 가측함수라 하자. 이때, 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 단순 함수 $\varphi_\epsilon, \psi_\epsilon$ 가 존재하여

$$\begin{align*} &\varphi_\epsilon \leq f \leq \psi_\epsilon \\ &0 \leq \psi_\epsilon - \varphi_\epsilon < \epsilon \end{align*}$$

를 만족한다.

Simple Approximation THM 가측집합 E와 E에서의 실함수 $f$에 대해 다음은 동치이다.

1. $f$가 가측함수이다.
2. 집합 E에 $f$로 점별수렴하는 단순함수열 {$\varphi_n : n \in \mathbb{N}$} 이 존재하고 모든 $n$과 $x \in E$에 대해 $\vert \varphi_n(x) \vert \leq \vert f(x) \vert$ 를 만족한다.

References

• Royden, H., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real analysis. China Machine Press.