Lebesgue Integral

유계,유한 가측함수에 대한 르벡 적분

단순함수의 르벡 적분 유한측도를 갖는 $E$ 에서 Canonical Form $\psi = \sum_{i=1}^n a_i\chi_{E_i}$ 을 갖는 단순함수의 적분은 다음과 같이 정의된다.

$\int_E \psi = \sum_{i=1}^n a_i\cdot m(E_i)$

Lebesgue Integral of bounded $f$ 유계함수 $f$에 대한 르벡 상(하)적분은 다음과 같이 정의된다.

상적분 : $\inf\lbrace \int_E \psi : f \leq \psi \text{ on } E \rbrace$ 하적분 : $\sup\lbrace \int_E \varphi : \varphi \leq f \text{ on } E \rbrace$

이때, 상적분과 하적분이 동일하면 유계함수 f가 Lebesgue-Integrable 하고 그 값을 $\int_E f$로 정의한다. 또한, 위와 같이 정의된 단순함수의 르벡 적분은 적분의 선형성을 만족한다.

THM $f$가 유한측도 집합 $E$ 위에서 유계이고 가측함수이면 $f$는 르벡적분가능하다.

proof. Simple Approximation Lemma로 부터 $\epsilon=1/n$에 대해 E에서의 단순함수 $\varphi_n, \psi_n$를 잡을 수 있고 이때 상적분과 하적분의 차는 0으로 수렴한다.

The Bounded Convergence THM(BCT) (유계수렴정리)

균등유계^{uniformly bounded}인 가측함수열 {$f_n$}이 유한측도집합 $E$에서 정의되어 있다고 하자. 이때, $E$ 에서 $f_n$이 $f$로 점별수렴하면

$\lim_{n \to \infty} \int_E f_n = \int_E f$

이 성립한다.

Nonnegative Measurable function에 대한 르벡 적분

정의

$E$에서 $f \geq 0$ 이고 가측인 함수 $f$의 르벡 적분은 다음과 같다.

$\int_Ef = \sup\lbrace \int_E h : h\text{는 유계, 가측, 유한 support를 가자며 }0\leq h \leq f\rbrace$

• $f$가 유한 support를 갖는다: 집합 $\lbrace x \in E : f(x) \neq 0\rbrace$ 이 유한 측도를 갖는다.

성질

Chebyshev's Inequality (체비세프 부등식)

체비셰프 부등식은 확률론과 통계학에서 자주 사용되는 부등식으로, 통계학에서는 어떤 확률변수가 어떤 값보다 얼마나 떨어져 있는지에 대한 정보를 제공한다. 르벡 적분에 대한 체비세프 부등식은 다음과 같다.

(Chebyshev's) Nonnegative measurable $f : E \to \mathbb{R}$과 $\forall \lambda>0$ 에 대해 다음이 성립한다:

$m[x\in E :f(x) \geq \lambda] \leq {1 \over \lambda} \int_E f$

Proof.

$E_\lambda = \lbrace x\in E : f(x) \geq \lambda \rbrace$ 라고 두자.

1. $m(E_\lambda) = \infty$ 일 때:
   $E_{\lambda,n} = E_\lambda \cap [-n,n]$ 이고 $\psi_n = \lambda \cdot \chi_{E_{\lambda,n}}$으로 두면 $\psi_n$은 유한 support를 갖는 유계 가측함수이다.
   따라서 위 정의에 의해

$\int_Ef \geq \lim_n \int_E\psi_n = \lambda \cdot \lim_nm(E_{\lambda,n})=\lambda \cdot m(E_\lambda) = \infty$

2. $m(E_\lambda) < \infty$ 일 때:
   $h = \lambda \cdot \chi_{E_\lambda}$ 로 두면 함수 $h$는 유계, 가측이고 유한 support를 가지므로 정의에 의해

$\int_E f \geq \int_E h =\lambda \cdot m(E_\lambda)$

또한 체비세프의 부등식으로부터 nonnegative measurable $f$에 대해 $f$의 르벡 적분값이 0인 것과 $f = 0$ a.e. on $E$는 동치임을 알 수 있다.

Fatou's Lemma

Nonnegative, measurable인 $E$에서의 함수열 {$f_n$}에 대해

$f_n \to f \text{ a.e. on } E \Rightarrow \int_Ef \leq \liminf_n \int_Ef_n$

Monotone Convergence THM

(단조수렴정리) Fatou's Lemma에서 $f_n$이 단조증가함수이면 $\int_Ef = \lim\int_Ef_n$ 이다.

Integrability

Nonnegative Measurable Function $f$가 적분가능하다(Integrable)는 것은

$\int_Ef < \infty$

임을 의미한다.

Prop Nonnegative Integrable $f$는 finite a.e. on E.

pf. 임의의 자연수 $n$에 대해

$m[x\in E : f(x) = \infty] \leq m[x\in E : f(x)\geq n] \leq {1\over n}\int_Ef$

이므로 성립하는 것을 알 수 있다.

References

• Royden, H., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real analysis. China Machine Press.