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Probability Theory

Monotone class argument

Monotone Class Argument Dynkin's $\pi-\lambda$ system이라고도 불리는 체계는 실변수함수론에서 다양한 정리들을 증명하거나 할 때 유용하게 사용된다. 또한, 확률론에서도 사건이나 random event의 독립성을 확인할 때 역시 이용된다. 우선 $\pi$ system, $\lambda$ system이 무엇인지 살펴보고, 간단한 예시를 통해 이들이 어...

2022. 2. 22.3 min read

Monotone Class Argument

Dynkin's π−λ\pi-\lambda system이라고도 불리는 체계는 실변수함수론에서 다양한 정리들을 증명하거나 할 때 유용하게 사용된다. 또한, 확률론에서도 사건이나 random event의 독립성을 확인할 때 역시 이용된다. 우선 π\pi system, λ\lambda system이 무엇인지 살펴보고, 간단한 예시를 통해 이들이 어떻게 이용되는지 알아보도록 하자.

정의

  1. π\pi-system : 집합 XX의 부분집합들의 모임 C\mathcal{C}에 대해

    A,B∈C⇒A∩B∈CA,B\in\mathcal{C} \Rightarrow A\cap B\in \mathcal{C}

    가 성립할 때 C\mathcal{C}를 π\pi-system 이라고 정의한다.

  2. λ\lambda-system : 집합 XX의 부분집합들의 모임 D\mathcal{D}에 대해

  1. X∈DX\in\mathcal{D}

  2. A∈D⇒Ac∈DA\in\mathcal{D}\Rightarrow A^c\in\mathcal{D}

  3. {An:n∈N}⊂D\lbrace A_n:n\in\mathbb{N}\rbrace \subset\mathcal{D}​ 이 mutually disjoint 일 때

    ⋃n∈NAn∈D\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\in\mathcal{D}

    가 성립한다.

위와 같이 각각 π\pi system, λ\lambda system을 정의한다. 이때 λ\lambda system과 σ\sigma-algebra는 유사한 형태를 가지고 있는데(정의 참고), 3번의 mutually disjoint union으로부터의 닫힘 조건만이 다르다는 것을 알 수 있다. 즉, σ−\sigma-algebra는 π−\pi-system이면서 동시에 λ\lambda-system이기도 하다. 이 정의를 바탕으로, 다음과 같이 Dynkin's THM이 성립한다.

Dynkin's π−λ\pi-\lambda Theorem

XX에서의 π\pi-system C\mathcal{C} 와 λ−\lambda-system D\mathcal{D} 를 생각하자. 이때 C⊂D\mathcal{C\subset D} 가 성립하면 σ(C)⊂D\sigma(\mathcal{C})\subset\mathcal{D} 이다.

Separating

Measurable Space (Y,Y)(Y,\mathcal{Y})에서의 π\pi-system C\mathcal{C} 가 σ(C)=Y\sigma(\mathcal{C})=\mathcal{Y} 를 만족한다면 C\mathcal{C} 를 Y\mathcal{Y}의 separating class 라고 정의한다.

Example

F={(a,b):a,b∈R,a<b}\mathcal{F}=\lbrace (a,b):a,b\in\mathbb{R}, a<b\rbrace 는 Measurable Space (R,B(R))(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) 의 separating class 이다. (여기서 B(R)\mathcal{B(\mathbb{R})}은 R\mathbb{R}의 Borel-σ\sigma-algebra이다.)

우선, F\mathcal{F} 에 대해 두 열린구간의 교집합 역시 F\mathcal{F}의 원소이므로 이는 R\mathbb{R}에서의 π−\pi-system임을 알 수 있다.

또한, 각 열린구간 (a,b)(a,b) 는 실수집합의 Borel Set 이므로 F\mathcal{F}를 포함하는 σ\sigma-algebra를 구성하면 이는 R\mathbb{R}의 σ\sigma-algebra이기도 하다. 추가적으로 a=−∞a=-\infty 인 경우나 b=∞b=\infty 인 경우 역시 σ\sigma-algebra 를 구성한다.

Measurability of function

앞서 Lebesgue measurable function을 정의할 때 실함수들의 치역이 가측인지를 기반으로 가측함수를 정의했었다. 여기서는 보다 일반적으로 함수의 measurability를 정의하고 르벡가측함수의 정의와 동치가 됨을 앞선 pi-lambda system 논의를 이용해 보여보도록 하자.

가측함수

가측공간 (X,X),(Y,Y)(X,\mathcal{X}),(Y,\mathcal{Y}) 에 대해 함수 f:X→Yf:X\to Y 가 주어진다고 하자. 이때 임의의 A∈YA\in\mathcal{Y} 에 대해 f−1(A)∈Xf^{-1}(A)\in\mathcal{X} 가 성립하면 함수 ff를 X/Y\mathcal{X/Y}-measurable 하다고 정의한다.

이때 임의의 A∈YA\in\mathcal{Y} 에 대해 f−1(A)∈Xf^{-1}(A)\in\mathcal{X} 이 성립한다는 것은 f−1(Y)⊂Xf^{-1}(\mathcal{Y})\subset\mathcal{X} 과 동치이므로 이를 이용해도 된다. 우선 다음 보조정리를 살펴보자.

Lemma (Induced σ\sigma-algebra)

가측공간 (X,X),(Y,Y)(X,\mathcal{X}),(Y,\mathcal{Y}) 에 대해 주어진 사상 f:X→Yf:X\to Y 에서

{B⊂Y:f−1(B)∈X} \lbrace B\subset Y:f^{-1}(B)\in \mathcal{X}\rbrace

으로 정의된 모임은 YY의 σ\sigma-algebra이다.

증명. 역상inverse image에 대해 다음의 기본적인 집합 연산들

f−1(Bc)=(f−1(B))c,f−1(⋃kBk)=⋃kf−1(Bk),f−1(⋂kBk)=⋂kf−1(Bk) f^{-1}(B^c)=(f^{-1}(B))^c, f^{-1}(\bigcup_k B_k)=\bigcup_kf^{-1}(B_k), f^{-1}(\bigcap_kB_k)=\bigcap_kf^{-1}(B_k)

이 성립하므로, 이를 이용해 위 집합이 σ\sigma-algebra 임을 보일 수 있다.

X/Y\mathcal{X/Y}-measurable과 동치인 것들

만일 Y\mathcal{Y}의 separating class C\mathcal{C}가 존재한다고 하자. 즉, σ(C)=Y\sigma(\mathcal{C})=\mathcal{Y} 를 만족한다. 이때 f−1(C)={f−1(B):B∈C}f^{-1}(\mathcal{C})=\lbrace f^{-1}(B):B\in\mathcal{C}\rbrace 이므로 f−1(C)⊂f−1(Y)f^{-1}(\mathcal{C})\subset f^{-1}(\mathcal{Y}) 가 성립한다. 즉, ff가 measurable이면 f−1(C)⊂Xf^{-1}(\mathcal{C})\subset \mathcal{X} 이다. 역을 살펴보면 우선 Lemma의 집합은 YY의 σ\sigma-algebra 이므로 C⊂{B⊂Y:f−1(B)∈X}\mathcal{C}\subset\lbrace B\subset Y:f^{-1}(B)\in \mathcal{X}\rbrace 이 성립한다. 즉, 임의의 A∈C(⊂Y)A\in\mathcal{C}(\subset\mathcal{Y}) 에 대해 f−1(A)∈Xf^{-1}(A)\in\mathcal{X} 가 성립하므로 이는 가측함수의 정의와 동치이다. 따라서 함수의 measurability는 separating class로도 보일 수 있다.

만약 위에서 YY가 위상공간이고 Borel-σ\sigma-algebra B(Y)\mathcal{B}(Y) 가 존재한다면 YY의 토폴로지가 B(Y)\mathcal{B}(Y)의 separating class이므로(보렐 시그마 대수의 정의에 의해) 토폴로지의 원소, 즉 임의의 열린 집합 VV들에 대해 f−1(V)∈Xf^{-1}(V)\in\mathcal{X} 이 성립하는지를 보면 될 것이다.

Lebesgue measurable function 의 정의 도출

(Real-valued) Lebesgue measurable funciton f:X→Rf:X\to\mathbb{R} 의 경우 임의의 실수 c∈Rc\in\mathbb{R} 에 대해 집합 {x∈X:f(x)≤c}\lbrace x\in X:f(x)\leq c\rbrace 이 가측집합이면 ff를 가측함수라고 정의했었다. 이 정의를 앞선 Monotone class argument를 이용해 보여보도록 하자.

앞선 예시에서 구간들의 모임 C={(−∞,c]:c∈R}\mathcal{C}=\lbrace (-\infty,c]:c\in\mathbb{R} \rbrace 이 (부등호에 관계없이) 가측공간 (R,B(R))(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R} ))의 separating class임을 알게 되었다. 따라서 앞서 살펴본 가측함수의 동치조건으로부터 separating class C\mathcal{C}의 역상이 X\mathcal{X}의 부분집합임을 보이는 것으로 함수의 가측여부를 보일 수 있고, 이는 임의의 c∈Rc\in\mathbb{R}에 대해 f−1(−∞,c]∈Xf^{-1}(-\infty,c]\in\mathcal{X} 임을 보이는 것과 동치이다.

References

  • Foundations of Modern Probability, O.Kallenberg
  • Real and Complex Analysis, W.Rudin