Sensitivity Analysis

관측 자료로부터 인과추론을 하기 위해서는 unconfoundedness, Overlap의 두 가지 가정이 필요하다. Overlap 가정은 각 처치대상을 기반으로 하므로, 관측 자료로부터 검정이 가능testable하다. 반면, unconfoundedness(혹은 ignorability) 가정은 본질적으로 검정은 불가능하지만, 간접적으로 검정할 수는 있다. Sensitivity Analysis민감도 분석이란, unconfoundedness 가정의 불만족을 어느 정도 수준까지 허용가능한지 분석하는 기법이다.

Unconfoundedness

\[\lbrace Y(1),Y(0)\rbrace \perp\!\!\!\perp Z\;\vert \;X\tag{1}\]

Unconfoundedness 가정(식 1)은 본질적으로 측정되지 않은 자료에 대한 가정이다. 왜냐하면 우리가 관측하는 자료들은 대상이 처치집단에 속하는 경우 $Y(0)$에 대한 정보를 알려주지 않고, 그 반대의 경우도 마찬가지이기 때문이다. 따라서, 이 가정은 검정이 불가능하다. 그렇지만, balance의 개념에서 간접적으로 측정할 수 있다.

결국 unconfoundedness 가정은 처치 여부에 대한 random assignment에 대한 것이고, 여기서 우리가 균형잡고자 하는 것은 \(\begin{align} \mathrm{P}(Y(0)\vert Z=1)\;\;\mathrm{vs.}\;\;\mathrm{P}(Y(0)\vert Z=0) \\ \mathrm{P}(Y(1)\vert Z=1)\;\;\mathrm{vs.}\;\;\mathrm{P}(Y(1)\vert Z=0) \end{align}\) 이다. 즉, 처치여부에 따라 달라지는 잠재적 결과를 밸런싱하는 것이 실제 관측 자료를 바탕으로 연구를 진행하는 목적이다.

Assessing unconfoundedness

추가적인 자료를 가정하면, unconfoundedness 가정을 측정할 수 있다. 다음은 그에 대한 몇 가지 방법이다.

Multiple Control Groups

다변량 대조군 (ex. $T_{i}\in \lbrace -1,0,1\rbrace $)을 가정하고, 처치변수는 1에만 대응된다고 하자. 그러면 처치변수는 $Z_{i}=I(T_{i}=1)$ 이 되고 결과변수는 다음과 같이 쓸 수 있다. \(Y_{i}=\begin{cases} Y_{i}(0) & \text{if } T_{i}\in\lbrace -1,0\rbrace \\ Y_{i}(1) & \text{if } T_{i}=1 \end{cases}\) 이때, unconfoundedness 가정을 확장하여 다음과 같이 결과변수와 다변량 대조군 지시함수 $T_{i}$의 독립으로 나타내자. \(\lbrace Y_{i}(0),Y_{i}(1)\rbrace \perp\!\!\!\perp T_{i}\;\vert\;X_{i}\) 그런데, 만일 $T_{i}$를 $\lbrace -1,0\rbrace $으로 제한하면 다음과 같은 검정가능한 가정을 얻을 수 있다. \(Y_{i}(0)\perp\!\!\!\perp I(T_{i}=0)\;\vert\;X_{i},T_{i}\in\lbrace -1,0\rbrace\) 따라서, 관측치에 대한 가정 \(Y_{i}^{obs}\perp\!\!\!\perp I(T_{i}=0)\;\vert\;X_{i},T_{i}\in\lbrace -1,0\rbrace\) 은 관측치로 측정할 수 있는 unconfoundedness 가정이 된 것이다.

Lagged Outcomes(Crump et al., 2008)

시차가 적용된 결과변수(이하 시차변수) $Y_{lag}$을 상정하는데, 이때 $Y_{lag}$는 처치변수 이전에 관측되어 처치에 의해 영향을 받지 않는다. 이 경우 시차변수는 unconfoundedness 가정의 $Y(0)$를 대신할 수 있다. 따라서, 만일 나머지 공변량들($\mathbf{V}:=\mathbf{X}\backslash Y_{lag}$)에 대해 시차변수에 대한 ATE가 0이라면 unconfoundedness 가정을 만족한다고 볼 수 있다. 즉, 다음을 검정하게 되는 것이다.

\[\begin{align} \mathrm{H}_{0}&:\mathrm{E}[Y_{lag,z=1}-Y_{lag,z=0}\vert\mathbf{V=v}]=0\quad \forall \mathbf{v}\\\\ \mathrm{H}_{1}&: \exists\mathbf{v}\;\;\mathrm{s.t}\;\;\mathrm{E}[Y_{lag,z=1}-Y_{lag,z=0}\vert \mathbf{V=v}]\neq0 \end{align}\]

공통적으로 시차의 존재가 필요하기 때문에, 횡단적 연구cross-sectional보다 패널 연구panel 혹은 반복측정된 횡단적 자료에 대해 더 적합하다. 또한, 이 방법은 DIDDifference-in-Difference방법과도 큰 연관성을 가지고 있다.

Negative Control Outcomes(Sofer et al., 2016)

NCO의 아이디어는 대상 결과변수 $Y$ 외에 또 다른 결과변수 $W$를 상정하는 것이다. 이때 새로운 결과변수는 연구 대상인 처치변수에 의해 인과적 영향이 없다는 것이 선험적으로 알려져있어야 한다. 앞서 살펴본 시차변수도 NCO의 특수한 경우로 볼 수 있다. 예를 들어, 독감예방접종여부가 처치변수이고 독감으로 인한 입원여부가 결과변수일 때, 외상injury으로 인한 입원여부를 NCO로 설정할 수 있다(Shi et al.).

이때 $W=ZW(1)+(1-Z)W(0)$을 NCO로 두면 unconfoundedness 가정은 \(\lbrace W(1),W(0)\rbrace \perp Z\;\vert \;X\) 와 같고, 이는 검정가능하다. ($\mathrm{E}[W(1)-W(0)\vert X] =0$ 이기 때문)

Sensitivity Analysis

앞서 다룬 세 가지 방법들은 추가적인 실험적 장치를 바탕으로 unconfoundedness 가정을 간접적으로 검정하고자 했다. 이와 달리 민감도 분석은, 검정에 초점을 두기보다는 모형에 대한 일종의 성능을 측정한다고 생각하면 된다.

Assumption

민감도 분석의 기본 아이디어는 측정되지 않은 confounder가 하나 존재한다고 가정하는 것이다. 즉, 중심이 되는 가정은 다음과 같다. \(P(Z\vert Y(0),Y(1),X)\neq P(Z\vert X)\) 이는 곧 unconfoundedness 가정이 관측된 공변량 $X$만으로는 만족되지 않음을 나타낸다. 또한, 관측되지 않은 공변량 $U$가 존재하여, 만일 이를 추가적으로 관측하면 가정을 만족한다. 즉, 다음과 같다. \(P(Z\vert Y(0),Y(1),X,U)=P(Z\vert X,U)\)

또한, $Y,Z,U$는 binary variable로 가정하고(각각 결과, 처치, 관찰되지 않은 교란변수), 공변량 $X$를 범주형 변수로 두자($X=x, x\in \lbrace 1,\ldots,k\rbrace $).

이후, 다음과 같이 전체 변수들에 대한 결합분포를 분해하도록 하자. \(P(Y(1),Y(0),Z,X,U) = P(Y(1),Y(0)\vert X, U)P(Z\vert X,U)P(U\vert X)P(X)\)

Parameters

각 변수들에 대해 다음과 같은 분포를 가정하자. 이때 모수벡터 $(\pi,\alpha,\delta_{1},\delta_{0})$ 를 sensitivity parameters 라고 부른다.

$U\sim \mathrm{Ber}(\pi)$ $\mathrm{logit} P(Z=1\vert u)=\gamma +\alpha u$ : Assignment mechanism model $\mathrm{logit} P(Y(z)=1\vert u) = \beta_{z}+\delta_{z}u$ : Outcome model

각 모수는 다음과 같은 의미를 가지고 있다.

  • $\alpha=\log[\frac{P(Z=1\vert U=1)/P(Z=0\vert U=1)}{P(Z=1\vert U=0)/P(Z=0\vert U=0)}]$ : 처치변수와 교란변수 간의 로그 오즈비log odds ratio
  • $\delta_{z}=\log[\frac{P(Y(z)=1\vert U=1)/P(Y(z)=0\vert U=1)}{P(Y(z)=1\vert U=0)/P(Y(z)=0\vert U=0)}]$ : 결과 $Y(z)$와 교란변수 간의 로그 오즈비

실제로는, 각 모수들은 공변량 $X$나 propensity score에 조건을 두고있다.

Procedure

민감도 분석의 과정은 다음과 같다(Rosenbaum and Rubin, 1983).

  1. $\tau,\alpha,\delta_{0},\delta_{1}$ 들에 대해, 각각의 모수가 가질 수 있는 값들의 집합에 대해 격자를 설정한다.
  2. 각 격자점에 대해 처치효과를 추정한다.
  3. 해당 값들의 변동성을 측정한다. 만일 관측되지 않은 교란변수 $U$에 대해 추정치들이 민감하지 않다면 인과추론이 더 defensible하다.

Limitations

민감도 분석에는 다음과 같은 한계들이 있다.

  • 분석을 진행하기 위해 confounding에 대한 검정가능하지않은 추가적인 가정이 필요함.
  • 관측되지 않은 교란변수를 하나만 가정해야 함.
  • 모수적 모형임
  • 대부분의 경우 homogeneity $\delta_{1}=\delta_{0}$를 가정함.

Advanced Sensitivity Analysis

Ding and VanderWeele, 2014

Rosenbaum의 민감도분석 방법 외에도 대부분의 민감도분석 기법은 추가적인 untestable assumption을 요구한다. 그러나 Ding and VanderWeele은 오직 두 개의 민감도 모수를 활용하여 측정되지 않은 교란변수에 대한 가정 없이 민감도 분석을 진행하는 방법을 고안하였다.

Relative Risk

우선, 분석을 위해 여러 방향에서의 relative risk상대위험를 정의하는데, 먼저 처치변수와 결과변수 간의 상대위험은 다음과 같이 두 가지로 정의된다.

  • Observed Relative Risk
\[\begin{align} \mathrm{RR}_{ZY\vert x}^{obs} &= \frac{P(Y=1\vert Z=1,x)}{P(Y=1 \vert Z=0,x)}\\ &= \frac{\sum_{u}P(Y=1\vert Z=1,x,u)P(u\vert Z=1,x)}{\sum_{u}P(Y=1\vert Z=0,x,u)P(u\vert Z=0,x)} \end{align}\]
  • Causal Relative Risk \(\begin{align} \mathrm{RR}_{ZY\vert x}^{\mathrm{true}} &= \frac{P(Y(1)=1\vert x)}{P(Y(0)=1\vert x)}\\ &= \frac{\int P(Y(1)=1\vert x,u)F(du\vert x)}{\int P(Y(0)=1\vert x,u)F(du\vert x)}\\ &= \frac{\sum_{u}P(Y=1\vert Z=1,x,u)P(u\vert x)}{\sum_{u} P(Y=1\vert Z=0,x,u)P(u\vert x)} \end{align}\)

이때, $Z \not\perp (Y(1),Y(0))\;\vert\; X$ 이므로 두 상대위험은 같지 않다. 그 다음으로, 처치변수와 교란변수 $U$ 간의 상대위험은 다음과 같이 정의된다. \(\mathrm{RR}_{ZU\vert x}(u) = \frac{\mathrm{P}(u\vert Z=1,x)}{\mathrm{P}(u\vert Z=0,x)}\) 또한, $U$에 대한 $Z$의($Z$ on $U$) 최대상대위험은 다음과 같이 정의한다. \(\mathrm{RR}_{ZU\vert x} = \max_{u}\mathrm{RR}_{ZU\vert x}(u)\)

마찬가지로, 교란변수와 결과변수의 관계에서도 상대위험을 다음과 같이 정의한다.

  • Unexposed인(처치가 이루어지지 않은) 대상에 대한 최대상대위험
\[\mathrm{RR}_{UY(0)\vert x}=\frac{\max_{u}\mathrm{P}(Y(0)=1\vert x,u)}{\min_{u}\mathrm{P}(Y(0)=1\vert x,u)}\]
  • Exposed인 대상에 대한 최대상대위험 \(\mathrm{RR}_{UY(1)\vert x}=\frac{\max_{u}\mathrm{P}(Y(1)=1\vert x,u)}{\min_{u}\mathrm{P}(Y(1)=1\vert x,u)}\)
  • $Y$에 대한 $U$의 상대위험 \(\mathrm{RR}_{UY\vert x}=\max\lbrace \mathrm{RR}_{UY(0)\vert x}, \mathrm{RR}_{UY(1)\vert x}\rbrace\)

이때, 주어진 인과모형에서 교란의 세기strength of confounding에 대한 측도로 다음을 사용한다(편의를 위해 아래부터 조건 $X=x$ 생략). \((\mathrm{RR}_{ZU},\mathrm{RR}_{UY})\)

Analysis

민감도 분석의 목적은 다음과 같다.

Observed relative risk $\mathrm{RR}{ZY}^{\mathrm{obs}}$ 와 교란의 세기 측도 $(\mathrm{RR}{ZU},\mathrm{RR}{UY})$으로부터 causal risk ratio $\mathrm{RR}{ZY}^{\mathrm{true}}$ 를 부분적으로 파악하는 것이다.

이때, causal risk ratio에 대해 다음의 하한이 존재한다. \(\mathrm{RR}_{ZY}^{\mathrm{true}}\geq \mathrm{RR}_{ZY}^{\mathrm{obs}} \bigg/\frac{\mathrm{RR}_{ZU}\times\mathrm{RR}_{UY}}{\mathrm{RR}_{ZU}+\mathrm{RR}_{UY}-1}\) 이때 나누어주는 항 $\frac{\mathrm{RR}{ZU}\times\mathrm{RR}{UY}}{\mathrm{RR}{ZU}+\mathrm{RR}{UY}-1}$ 을 bounding factor라고 정의하고 $\mathrm{BF}_{U}$ 라고 나타낸다.

References

  • STA 640 Lecture Notes of Duke University, Fan Li.

Leave a comment