Real Numbers

1. Three Major Axioms in Real Numbers

1. Field Axiom (체공리)

다음 9가지 성질을 만족하는 set $F$ 를 Field(체) 라고 정의한다.

덧셈에 대한 교환법칙(Commutativity)
덧셈에 대한 결합법칙(Associativity)
덧셈에 대한 항등원(Identity) 존재
덧셈에 대한 역원(Inverse) 존재
곱셈에 대한 교환법칙(Commutativity)
곱셈에 대한 결합법칙(Associativity)
곱셈에 대한 항등원(Identity) 존재
곱셈에 대한 역원(Inverse) 존재
덧셈과 곱셈에 대한 분배법칙 성립

여기에 추가로 Nontriviality Assumption을 가정한다:

$1 \neq 0$

2. Positive Axiom

다음 두 가지 성질을 만족하는 양의 실수로 구성된 집합 $\mathcal P$ 가 존재한다.

P1. $a, b \in \mathcal{P}$ 이면 $a+b, ab \in \mathcal{P}$
P2. $a\in \mathbb{R}$ 이면 $a \in \mathcal{P}$ or $-a \in \mathcal{P}$ or $a = 0$

3. Completeness Axiom(완비성 공리)

만약 비어있지 않은 집합 $E \subset \mathbb{R}$ 이 위로(아래로) 유계^bounded이면 $E$의 상한(하한) $\sup E (\inf E)$ 가 존재한다.

Def. $\mathbb{R} \cup \pm \infty$ : Extended Real Numbers

만약 $E$가 위로(아래로) 유계가 아니라면 $\pm \infty$를 $E$의 상한(하한)으로 정의한다

2. Natural / Rational Numbers

Def. A set $E \subset \mathbb{R}$ is inductive :

$1 \in E, x \in E\; \text{then} \; x+1 \in E$

Def. Set of Natural Numbers

\[\mathbb{N} = \bigcap^{\infty} \text{[all inductive subsets of} \; \mathbb{R}]\]

THM 1 비어있지 않은 모든 자연수 집합은 가장 작은 수를 가진다.

Archimedean Property (아르키메데스의 원리)

$For \;\; \forall a,b \in \mathbb{R}^+, \; \exists n \in \mathbb{N} \quad s.t. \quad na \gt b$

Def $ E \subset \mathbb R $ 이 $\mathbb R $ 안에서 조밀(dense)하다:

$For \;\; \forall x, y \; \in \mathbb{R} \;\; \exists e\in E \;\; s.t \;\; x \lt e \lt y$

References

• Royden, H., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real analysis. China Machine Press.