Duality
DualityPermalink
선형 범함수Permalink
쌍대성(Duality)을 정의하기 이전에, 선형 범함수(linear functional)에 대해 알 필요가 있다. 우선 범함수란, 함수들의 함수로 어떠한 함수공간을 정의역으로 하고 실수 혹은 복소수 집합을 공역으로 하는 함수이다. 이때, 함수공간은 벡터공간이기 때문에 벡터공간에서부터 실수로 정의되는 함수로 이해하는 것이 쉽다. 예로 이전에 살펴보았던 르벡 적분의 경우도 적분 연산자가 함수를 입력받아 스칼라 값을 도출해내는 형태이기 때문에, 이 역시 범함수의 일종이라고 볼 수 있다.
이 장에서 의미있는 선형 범함수는, 다음과 같이 정의된다.
선형범함수의 정의Permalink
선형공간
또한, 선형공간 X가 노음선형공간(Normed Linar Space,NLS)으로 주어졌을 때, 선형범함수 T에 대해 유계성을 다음과 같이 정의할 수 있다.
선형범함수의 유계성Permalink
NLS
위 식에서
로 정의하는 것은 동치이다.
선형성에 의해
인 경우 임의의 함수 에 대해 로 정의하면 식 (1)은 로 변형된다. 따라서 영함수
인 경우도 고려하면 로 확장하여 의 노음에 대한 두 정의가 동치임을 알 수 있다.
또한, 선형성에 의해 임의의
이 성립하는데, 이는 Lipschitz 조건과 유계성이 선형범함수에 대해서 동치 조건임을 의미한다.
쌍대공간(Dual Space)Permalink
노음선형공간 X에 대한 선형범함수를 통해 다음과 같이 쌍대공간을 정의한다.
Def
노음선형공간
쌍대공간의 성질Permalink
명제 2 가측집합 E와 켤레수
횔더의 부등식으로부터
는 적분가능하고 따라서 는 정의될 수 있다. 또한, 임의의 에 대해 가 성립하므로
임을 알 수 있다. 반면, 함수
의 켤레함수 을 생각하면 이는
의 원소이므로 이고 이다. 따라서 선형범함수의 노음에 대한 두 번쨰 정의로부터 (상한을 이용한 정의) 임을 확인할 수 있다.
명제 3 NLS
앞에서 유계선형범함수의 선형성으로부터 립쉬츠 조건과 유계성이 동치임을 확인했다. 이로부터 노음공간
에서 함수열 이 로 수렴하면 유계선형범함수 에 대해서도 이 성립한다는 것을 알 수 있다. 또한 이와 더불어 조밀성의 성질인 수렴한는 부분수열의 존재성을 이용하면 명제의 성립을 증명할 수 있다.
Lemma
THM 5
를 만족한다.
Riesz Representation THMPermalink
임의의 함수
그러면
를 만족한다.
증명Permalink
우선, 정의된 선형범함수
가 모든
또한 정리 5로부터,
가 정의될 수 있다. 그러면 식 1로부터
가 성립하고,
이제 이를 임의의 가측집합
ReferencesPermalink
- Royden, H., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real analysis. China Machine Press.
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