Lebesgue Measure
Lebesgue Measure (르벡 측도)
1. Lebesgue Outer Measure
Def 가산개의 비어 있지 않은 열린, 유계 구간열 $\lbrace I_k\rbrace _{k=1}^\infty$ 을 생각하자. 이때 임의의 집합 A에 대해서 $A\subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k$ 를 만족한다면 집합 A의 외측도(outer measure)을 다음과 같이 정의한다.
$m^{\ast}(A) = \inf \lbrace \sum l(I_k)\vert A\subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k\rbrace $
이때, $l(I)$는 구간의 길이를 의미한다.
이로부터 다음과 같은 추론이 가능하다.
EX 가산개의 원소를 갖는 집합 C의 측도는 0이다
pf. 집합 C가 $C = \lbrace c_n : n \in \mathbb{N}\rbrace $으로 enumerate 되고, C의 덮개가 되는 구간열을 $I_n = (c_n - \epsilon/2^{n+1},c_n + \epsilon/2^{n+1})$으로 두면 이 구간열은 C의 덮개이므로,
\[m^{\ast}(C) \leq \sum l(I_n) = \sum \epsilon/2^n = \epsilon\]
Prop 1 구간 I의 외측도는 구간의 길이와 같다.
Prop 2 외측도는 Translation에 대해 불변이다.
\[m^{\ast}(A+y) = m^{\ast}(A)\]Prop 3 (Countable Subaddity, 가산가법성) 가산개의 Collection $E_{k \in \mathbb{N}}$에 대해:
\[m^{\ast}(\bigcup_{k=1}^\infty E_k) \leq \sum_{k=1}^\infty m^{\ast}(E_k)\]2. 르벡 가측집합에 대한 시그마 대수
Def 어떤 집합 E가 가측 집합(measurable set)이다:
임의의 집합 A에 대하여 \(m^{\ast}(A) = m^{\ast}(A \cap E) + m^{\ast}(A \cap E^c)\)
이때, 외측도의 가산가법성(Prop 3)에 의해 $A = (A \cap E) \cup (A \cap E^c)$ 로부터 \(m^{\ast}(A) \leq m^{\ast}(A \cap E) + m^{\ast}(A \cap E^c)\) 이므로
집합 E가 Measurable 한 것과 \(m^{\ast}(A) \geq m^{\ast}(A \cap E) + m^{\ast}(A \cap E^c)\) 한 것은 동치이다.
Prop 4 외측도가 0인 임의의 집합은 가측 집합이다.
Prop 5 유한개의 가측집합열의 합집합은 가측 집합이다.
Prop 6 집합 A와 유한개의 서로 소인 집합열 $\lbrace E_k : k \in \mathbb{N}\rbrace $에 대해
\[m^{\ast}(\bigcup_{k=1}^n E_k) = \sum_{k=1}^n m^{\ast}(E_k)\]Prop 7 가산개의(countable) 가측집합열의 합집합은 가측 집합이다.
pf. Let $E = \bigcup_{k=1}^\infty E_k$ then $E = \bigcup_{k=1}^\infty {E_k}’$ where ${E_k}’ = E_k -\bigcup_{i=1}^{k-1} E_i$
\[\begin{aligned} m^{\ast}(A) &= m^{\ast}(A \cap F_n) + m^{\ast}(A \cap F_n^c) \\ &\geq m^{\ast}(A \cap F_n) + m^{\ast}(A \cap E^c) \end{aligned}\]
이때 각 $E_k’$는 서로 소이다. 또한, $F_n = \bigcup_{k=1}^n E_k$로 두면 $F_n \subseteq E$ 이므로 이는 $E^c \subseteq F^c$와 동치이다.
임의의 집합 A에 대해,이 성립하고,
\[m^{\ast}(A \cap F_n) = \sum_{k=1}^n m^{\ast}(A \cap E_k)\]
Prop 6에 의해이므로 \(n \to \infty\) 에 따라
\[\therefore m^{\ast}(A) \geq m^{\ast}(A \cap E) + m^{\ast}(A \cap E^c)\]
Def 실수 $\mathbb{R}$의 부분집합들의 모임이 시그마 대수일 조건은 다음과 같다.
C1. It contains $\mathbb{R}$
C2. 여집합과 가산개의 합집합에 대해 닫혀있다.
Prop 8 모든 구간은 가측집합이다.
Def $\mathbb{R}$의 부분집합들의 모든 시그마 대수들의 교집합이 열린 집합들을 포함한다면 이를 보렐 시그마 대수Borel $\sigma$-algebra라고 부른다. 또한, 보렐 시그마 대수의 각 원소를 보렐 집합Borel set이라고 정의한다. $\Rightarrow$ 모든 보렐 집합은 가측 집합이다.
THM 9 보렐 집합들의 시그마 대수 $\mathcal B$를 포함하는 가측 집합들의 모임 $\mathcal M$ 역시 시그마 대수이다. $\Rightarrow$ 임의의 열린(혹은 닫힌)구간 및 $F_\delta, G_\delta$ 집합은 모두 가측 집합이다.
Prop 10 가측 집합 $E$의 Translation $E+y$ 역시 가측 집합이다.
References
- Royden, H., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real analysis. China Machine Press.
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