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Mathematics

Product Integral

2022. 2. 25.3 min read

Product Integral

이번 글에서는 르벡적분에 대한 다중적분을 정의해보도록 할 것이다. 다중적분을 하기 위해서는 곱함수가 정의되는 product space와, product space에서 측도로 사용될 수 있는 product meausre이 필요할 것이다.

Product Space

두 위상공간 X,YX,Y에 대한 cartesian product X×YX\times Y 는 다음과 같이 정의된다.

X×Y={(x,y):x∈X,y∈Y} X\times Y = \lbrace (x,y):x\in X,y\in Y\rbrace

위상공간의 열 {Xi:i∈I}\lbrace X_i : i\in I\rbrace ​ 에 대한 cartesian product는

×i∈IXi={(xi:i∈I):xi∈Xi} \times_{i\in I}X_i = \lbrace (x_i:i\in I):x_i\in X_i\rbrace

으로 정의된다. 이때 index set II는 countable set일 때뿐만 아니라 uncountable set일 때도 정의된다.

Product σ\sigma-algebra

가측공간의 열 {(Xi,Xi):i∈I}\lbrace (X_i,\mathcal{X_i}):i\in I\rbrace 이 주어진다고 하자. XiX_i 들의 곱공간은 위처럼 cartesian product를 이용해 정의하면 되므로 σ\sigma-algebra들의 곱을 정의해보도록 하자.

곱공간 ×i∈IXi\times_{i\in I}X_i에서 정의되는 product σ\sigma-algebra 는 다음과 같이 정의된다.

⨂i∈IXi=σ({Ai××i≠j∈IXj:i∈I,Ai∈Xi})=σ({Ai1×⋯×Ain××i1,…,in≠j∈IXj:n∈N,i1,…,in∈I,Ait∈Xi∀t=1,…,n}) \begin{aligned} \bigotimes_{i\in I}\mathcal{X_i}&=\sigma\bigg(\bigg\lbrace A_i\times\times_{i\neq j\in I}X_j:i\in I,A_i\in\mathcal{X_i}\bigg\rbrace \bigg)\\ &=\sigma\bigg(\bigg\lbrace A_{i1}\times\cdots\times A_{in}\times\times_{i_1,\ldots,i_n\neq j\in I}X_j : n\in\mathbb{N},i_1,\ldots,i_n\in I, A_{it}\in\mathcal{X_i}\forall t=1,\ldots,n\bigg\rbrace \bigg) \end{aligned}

자세히 보아도 이해가 쉽지 않다😅. 형태를 살펴보면, 어떤 집합이 생성하는 시그마 대수로 정의되는데, 위 식과 아래 식에서 사용되는 집합이 다르다. 우선 첫번째 집합을 살펴보자. 우선 Ai××i≠j∈IXjA_i\times\times_{i\neq j\in I}X_j 꼴로 주어지는 집합들을 cylinder set이라고 하는데, 하나의 축 ii에 대한 σ\sigma-algebra를 기준으로 나머지 축들은 모두 포함한다. 이를 한개의 축 ii에 대해 정의된 cylinder set이라는 의미에서 one-dimensional cylinder set이라고도 한다.

반면 아래 식을 보면 이는 nn차원 cylinder set을 이용해 σ\sigma-field를 생성한다. 즉, 위 정의는 cylinder sets의 차원에 관계없이 같은 product σ\sigma-algebra 가 생성된다는 것이다. ii번째 one-dimensional cylinder set을 Ai=Ai××i≠j∈IXj\mathcal{A_i}=A_i\times\times_{i\neq j\in I}X_j 라고 정의하자. 이때 one-dimensional cylinder sets의 모임 {A1,A2,…,Ai,…}\lbrace \mathcal{A_1,A_2,\ldots,A_i,\ldots}\rbrace 를 생각하면 이는 π\pi-system이 아닌데, 임의의 Ai,Aj\mathcal{A_i,A_j} 의 교집합을 생각하면 이는 두 개의 축 i,ji,j에 대한 Xi,Xj\mathcal{X_i,X_j}을 포함해야 하므로 이는 two-dimensional cylinder set이 된다.

따라서 cartesian product space ×iXi\times_i X_i에 대한 σ\sigma-algebra를 정의하기 위해서는 사실상 모든 축(i∈Ii\in I) 에 대한 one-dimensional cylinder sets들로부터 생성해야 할 것이다. 그러므로 임의의 유한차원 cylinder set으로부터 생성한 σ\sigma-algebra는 곱공간의 product σ\sigma-algebra가 된다.

Product Borel σ\sigma-algebra

Separable metric spaces(Polish space) S1,S2,…S_1,S_2,\ldots​ 가 주어진다고 하자. 이때

B(S1×S2×…)=B(S1)⊗B(S2)⊗… \mathcal{B}(S_1\times S_2\times\ldots) = \mathcal{B}(S_1)\otimes\mathcal{B}(S_2)\otimes\ldots

이 성립한다. 특히 B(Rd)=Bd\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)=\mathcal{B}^d 가 되는데, 이는 d차원 유클리드공간의 Borel-σ\sigma-algebra가 dd차원 박스 I1×⋯×IdI_1\times\cdots\times I_d 로 구성됨을 의미한다.

Product Measure Space

측도공간의 열 (Xi,Xi,μi)(X_i,\mathcal{X_i},\mu_i) 에 대해 product space와 product σ\sigma-algebra 를 각각 X=×iXiX=\times_iX_i, X=⨂iXi\mathcal{X}=\bigotimes_i\mathcal{X_i} 로 정의하자. 그러면 각 one-dimensional cylinder set들에 대해 다음과 같이 정의되는 측도 μ\mu가 (X,X)(X,\mathcal{X}) 에 유일하게 존재하며, 이를 product measure곱측도라고 한다.

μ(Ai××i≠j∈IXj)=μ(Ai),∀i∈I,Ai∈X \mu\big(A_i\times\times_{i\neq j\in I} X_j\big) = \mu(A_i),\quad \forall i\in I, A_i\in\mathcal{X}

Tonelli, Fubini's THM

σ\sigma-finite한 측도 공간 (S,S,μ)(S,\mathcal{S},\mu) 와 (T,T,ν)(T,\mathcal{T},\nu) 에 대해 다음과 같은 (S×T,S⊗T)(S\times T,\mathcal{S\otimes T}) 에서의 product measure

(μ⊗ν)(B×C)=μB⋅νC,B∈S,C∈T (\mu\otimes\nu)(B\times C)=\mu B\cdot\nu C,\quad B\in\mathcal{S},C\in\mathcal{T}

이 주어진다. 여기서 (S,S,μ)(S,\mathcal{S},\mu)가 σ\sigma-finite 하다는 말은 E1∪E2∪…=SE_1\cup E_2\cup\ldots=S 인 E1,E2,…∈SE_1,E_2,\ldots\in\mathcal{S} 가 존재하여 각 EiE_i의 측도가 유한하다는 것을 의미한다. 이때 다음과 같은 다중적분이 성립한다.

  1. f:S×T→[0,+∞)f:S\times T\to[0,+\infty) 인 경우

    ∫X×Yfd(μ⊗ν)=∫Y∫Xfdμdν=∫X∫Yfdνdμ\int_{X\times Y}fd(\mu\otimes\nu)=\int_Y\int_Xfd\mu d\nu=\int_X\int_Yfd\nu d\mu

  2. f∈L1(μ⊗ν)f\in L^1(\mu\otimes\nu) 인 경우

    ∫X×Yfd(μ⊗ν)=∫Y∫Xfdμdν=∫X∫Yfdνdμ\int_{X\times Y}fd(\mu\otimes\nu)=\int_Y\int_Xfd\mu d\nu=\int_X\int_Yfd\nu d\mu

증명.

  • References

    • Foundations of Modern Probability, O.Kallenberg
    • Real and Complex Analysis, W.Rudin