바나흐 고정점 정리Permalink

바나흐 고정점 정리(혹은 축약 사상 정리)는 축약사상에 대해 고정점이 하나만 존재한다는 정리이다. 우선 이를 알기 위해 축약 사상과 고정점의 개념에 대해 다루어보자.

Def 거리공간 X에서의 점 xX 와 사상 T:XX 에 대해 T(x)=x 이 성립하면 점 x를 X의 고정점이라고 한다.

Def 거리공간 (X,ρ) 에서의 사상 T에 대해 다음이 성립하는 c<1 이 존재한다면 이러한 립쉬츠 사상Lipschitz mapping축약사상contradiction 이라고 한다.

ρ(T(u),T(v))cρ(u,v)u,vX

Banach Contradiction Principle
완비거리공간 X와 축약사상 T:XX 에 대해, T의 고정점은 단 하나만 존재한다.

pf. 축약사상의 정의를 만족하는 0c<1 을 잡고, X의 원소 x0을 택하자. 이를 바탕으로 수열을 구성하는데, x1=T(x0) 으로 시작하여 xk=T(xk1) 의 방식으로 구성하자. 그러면 T의 상(image)가 X의 부분집합이므로 수열 {xn} 은 X에 속한다. 이때, 축약사상 성질에 의해 다음이 성립한다.

ρ(xk+1,xk)=ρ(T(xk),T(xk1))cρ(xk,xk1)ckρ(T(x0),x0)

따라서, 어떤 자연수 m>k 를 잡으면 삼각부등식으로부터

ρ(xm,xk)ρ(xm,xm1)++ρ(xk+1,xk)[cm1+cm2++ck]ρ(T(x0),x0)=ck1cmk1cρ(T(x0),x0)ck1cρ(T(x0),x0)

여기서 limkck=0 이므로 수열 {xn}은 코시수열임을 알 수 있다. X가 완비공간이므로, 코시수열의 수렴값 역시 X에 포함된다. 이 점을 xX 라고 하자. 또한, 립쉬츠 조건을 만족하는 사상 T는 연속이기도 하므로,

T(x)=limkT(xk)=limkxk+1=x

가 성립한다. 따라서 고정점이 한 개 이상임은 알 수 있다. 만약 고정점이 두개, 즉 u,vX 가 존재한다고 가정하면

0ρ(u,v)=ρ(T(u),T(v))cρ(u,v)

인데, c는 1보다 작으므로 ρ(u,v)=0 이어야 한다. 따라서, 오직 한개의 고정점이 존재한다.

ReferencesPermalink

  • Royden, H., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real analysis. China Machine Press.

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