위상공간의 분리(Separation)

위상공간의 분리 ^Separation

위상공간 X의 부분집합 $A,B \subset X$ 가 서로소라고 하자. 만일 $A,B$ 각각의 서로소인 근방이 존재한다면, 이를 근방에 의해 분리된다고 표현한다. 이 장에서는 네 가지의 주요 분리 성질을 바탕으로 위상공간을 분류하는 것을 다룬다.

티호노프^Tychonoff 분리 성질

위상공간 $X$의 두 점 $u,v \in X$에 대해 $v$를 포함하지 않는 $u$의 근방이 존재하며, $u$를 포함하지 않는 $v$의 근방 역시 존재한다.

위 성질을 티호노프 분리 성질이라고 하며, 이를 만족하는 위상공간을 티호노프 공간이라고 한다.

명제 6 위상공간 $X$가 티호노프 공간일 필요충분조건은 $X$의 단 한점으로 구성된 모든 집합이 닫혀있는 것이다.

증명. $x\in X$에 대해 집합 {$x$}이 닫힘과 여집합 $X\backslash${$x$} 이 열림은 동치이다 (이전포스팅 참조). 이때, $X\backslash${$x$} 가 열려있기 위해서는 각 점 $y\in X\backslash${$x$} 에 대해 $y$의 어떤 근방이 존재해 $X\backslash${$x$}에 포함되어야 하고, 이는 티호노프 분리 성질을 만족시킨다.

일반 분리 성질^{Normal Separation Property}

티호노프 분리 성질을 만족하며, 두 개의 서로소인 닫힌 집합들은 서로소인 근방에 의해 분리될 수 있다.

이때 위 성질을 만족하는 위상공간을 normal 하다고 한다.

명제 7 모든 거리공간은 normal하다.

증명. 거리공간이 $(X,\rho)$로 주어지며 다음과 같이 $X$의 부분집합 $F$와 $x\in X$을 대응시키는 거리함수를 정의하자.

\[dist(x,F)=\inf\lbrace \rho(x,x'):x' \in F\rbrace\]

일반분리성질을 확인하기 위해 두 개의 서로소인, $X$의 닫힌 부분집합 $F_1,F_2$를 잡자. 이때 두 $X$의 부분집합

\[\mathcal{O_1}=\lbrace x\in X: dist(x,F_1)<dist(x,F_2)\rbrace\] \[\mathcal{O_2}=\lbrace x\in X: dist(x,F_2)<dist(x,F_1)\rbrace\]

을 잡으면 $F_1\subseteq\mathcal{O_1}$, $F_2\subseteq\mathcal{O_2}$ 이고 $\mathcal{O_1\cap O_2} = \emptyset$ 이다. (if $x\in F_1$ then $x\in\mathcal{O_1}$) 이는 서로소인 근방에 의해 $F_1,F_2$ 가 분리되는 것을 의미하므로 거리공간 X가 normal 함을 알 수 있다.

하우스도르프 분리 성질^{Hausdorff Separation Property}

위상공간 $X$에서 각각의 두 점은 서로소인 근방들로 분리될 수 있다.

정규 분리 성질^{Regular Separation Property}

티호노프 분리 성질이 성립하며, 각각의 닫힌집합 $F\subset X$와 $x\notin F$는 서로소인 근방에 의해 분리될 수 있다.

명제 8 $X$가 티호노프 위상공간이라고 하자. 이때 X가 normal할 필요충분조건은 임의의 닫힌부분집합 $F\subset X$의 근방 $\mathcal{U}$에 대해 열린집합(근방) $\mathcal{O}$가 존재하여 다음을 만족하는 것이다.

\[F\subseteq \mathcal{O} \subseteq \overline{\mathcal{O}} \subseteq \mathcal{U}\]

($\Rightarrow$). X가 normal하다고 가정하자. $\mathcal{U}$가 $F$의 근방이므로 $F$와 $X\backslash\mathcal{U}$는 서로소인 닫힌 집합이다. 따라서 normal의 정의로부터 서로소인 열린집합 $\mathcal{O,V}$ 가 존재하여 $F\subseteq\mathcal{O},X\backslash\mathcal{U}\subseteq\mathcal{V}$ 가 성립한다. 따라서 $\overline{\mathcal{O}}\subseteq X\backslash\mathcal{V}\subseteq\mathcal{U}$ 임을 알 수 있다.
($\Leftarrow$) 위 성질이 성립한다고 가정하자. $A,B$가 $X$의 서로소인 닫힌 부분집합이라고 하면, $A\subseteq X\backslash B$ 이고 $X\backslash B$는 열린집합이다. 따라서 $A\subseteq\mathcal{O}\subseteq\overline{\mathcal{O}}\subseteq X\backslash B$ 인 열린집합 $\mathcal{O}$ 가 존재한다.

위상공간의 가산성과 분리가능성

가산성과 분리가능성을 논하기 이전에 먼저 위상공간에서 수열의 수렴을 정의할 필요가 있다.
Def 위상공간 $X$의 수열 {$x_n$}이 $x\in X$로 수렴한다는 것은 $x$의 각 근방 $\mathcal{U}$ 에 대해 자연수 $N$이 존재하여 $n\geq N$일 때 $x_n\in \mathcal{U}$가 성립함을 말한다.

주의할 것은, 거리공간에서와는 다르게 위상공간에서의 수열은 두개 이상의 극한을 가질 수 있다. 예를 들어 위상공간 $X$에 대한 Trivial Topology

\[\mathcal{T}=\lbrace \emptyset,X\rbrace\]

를 생각하면 $(X,\mathcal{T})$에서 정의된 모든 수열은 모든 점으로 수렴하는데, 모든 점에 대한 근방은 전체집합 $X$로만 정의되기 때문이다. 반면, 하우스도르프 위상공간에서는 각 점들을 서로소인 근방들로 분리할 수 있으므로 수열들은 각각 오직 하나의 극한만을 갖는다.

가산성^countability

Def 위상공간 $X$의 각 점에 대한 기저가 가산일때, 이를 제1가산공간^{first countable topological space}이라고 한다. 만약 $X$의 토폴로지 $\mathcal{T}$의 기저가 가산이면, 공간 $X$를 제2가산공간^{second countable topological space}이라고 한다.
정의로부터 제2가산공간이 제1가산공간임은 명확하다(토폴로지에 대한 기저는 모든 점에서의 기저를 포함하므로). 예시로 거리공간을 살펴보자. 모든 거리공간 $X$는 제1가산공간임을 알 수 있는데, $x\in X$에 대해 열린근방들의 모임

\[\lbrace N(x,1/n)\rbrace ^\infty_{n=1}\]

을 생각하면 이는 점 $x$에 대한 기저가 되고, 가산모임이다.
제1가산공간에 대해서는 다음 명제가 성립한다.
명제 9 제1가산공간 $X$와 부분집합 $E$를 생각하자. 점 $x\in X$가 $E$의 폐포에 속할 필요충분조건은 $x$가 $E$에서의 수열의 극한값이어야 한다는 것이다.
또한, 이를 이용하면 $E$가 닫혀있는 것과 $E$에서의 수열의 극한값이 $E$에 속하는 것이 동치임을 알 수 있다.

분리가능성^separability

분리가능성은 거리공간 등에서 살펴본 개념과 동일하게, 조밀성과 함꼐 정의된다.
Def 위상공간 $X$의 모든 열린집합이 $E\subset X$의 점을 포함하면, $E$가 $X$에서 조밀하다고 한다. 이때 $E$가 가산이면 $X$를 분리가능하다고 정의한다.

폐포점의 정의를 생각해보면, $x$가 $E$의 폐포점일 경우 $x$의 모든 근방이 $E$의 점을 포함한다. 이는 위에서 정의한 조밀성과 동치이므로,

\[\overline{E}=X\]

임을 알 수 있다.

References

• Royden, H., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real analysis. China Machine Press.