Duality

Duality

선형 범함수

쌍대성(Duality)을 정의하기 이전에, 선형 범함수(linear functional)에 대해 알 필요가 있다. 우선 범함수란, 함수들의 함수로 어떠한 함수공간을 정의역으로 하고 실수 혹은 복소수 집합을 공역으로 하는 함수이다. 이때, 함수공간은 벡터공간이기 때문에 벡터공간에서부터 실수로 정의되는 함수로 이해하는 것이 쉽다. 예로 이전에 살펴보았던 르벡 적분의 경우도 적분 연산자가 함수를 입력받아 스칼라 값을 도출해내는 형태이기 때문에, 이 역시 범함수의 일종이라고 볼 수 있다.

이 장에서 의미있는 선형 범함수는, 다음과 같이 정의된다.

선형범함수의 정의

선형공간 $X$에 대한 범함수 $T:X \to \mathbb{R}$ 가 다음을 만족할 때 이를 선형범함수라고 한다.

\[T(\alpha\cdot g + \beta \cdot h) = \alpha\cdot T(g) + \beta \cdot T(h)\]

또한, 선형공간 X가 노음선형공간(Normed Linar Space,NLS)으로 주어졌을 때, 선형범함수 T에 대해 유계성을 다음과 같이 정의할 수 있다.

선형범함수의 유계성

NLS $X$와 $X$에서 정의된 선형범함수 $T$에 대해서 다음을 만족하는 $\exists M>0$ 이 존재하면 $T$는 유계이다.

\[\vert T(f)\vert \leq M \cdot \Vert f \Vert \quad \text{for } \forall f \in X\tag{1}\]

위 식에서 $M$의 하한을 선형범함수 $T$의 노음으로 정의하며 $\Vert T\Vert_*$ 라고 표기한다. 이때, 노음을 $M$의 하한으로 정의하는 것과

\[\Vert T\Vert_\ast = \sup\lbrace T(f) : f \in X, \Vert f\Vert \leq 1\rbrace\]

로 정의하는 것은 동치이다.

선형성에 의해 $f\neq 0$ 인 경우 임의의 함수 $f \in X$에 대해 $g = f/{\Vert f\Vert}$ 로 정의하면 식 (1)은

\[\vert T(g)\vert \leq M \quad \Vert g\Vert =1\]

로 변형된다. 따라서 영함수 $f=0$ 인 경우도 고려하면 $\Vert g \Vert \leq 1$로 확장하여 $T$의 노음에 대한 두 정의가 동치임을 알 수 있다.

또한, 선형성에 의해 임의의 $f, h \in X$에 대해

\[\vert T(f)-T(h)\vert \leq \Vert T \Vert_*\Vert f-h \Vert\]

이 성립하는데, 이는 Lipschitz 조건과 유계성이 선형범함수에 대해서 동치 조건임을 의미한다.

쌍대공간(Dual Space)

노음선형공간 X에 대한 선형범함수를 통해 다음과 같이 쌍대공간을 정의한다.

Def
노음선형공간 $X$에 대한 유계선형범함수들의 집합은 $\Vert \cdot \Vert_*$ 을 노음으로 갖는 노음선형공간이다. 이와 같이 정의된 새로운 노음선형공간을 $X$의 쌍대공간^{dual space} 라고 정의하며, $X^\ast$로 표기한다.

쌍대공간의 성질

명제 2 가측집합 E와 켤레수 $p,q$ ($p \in [1,\infty)$), 함수 $g \in L^q(E)$ 에 대해 $L^p(E)$ 에서의 범함수를 $T(f) = \int_E g\cdot f$ 로 정의하자. 이때, $T$ 는 $L^p(E)$에서의 유계선형범함수이고 노음은 $\Vert g\Vert_q$ 와 같다.

횔더의 부등식으로부터 $g\cdot f$는 적분가능하고 따라서 $T$는 정의될 수 있다. 또한, 임의의 $f \in L^p(E)$ 에 대해

\[\vert T(f)\vert \leq \Vert g\Vert_q \cdot \Vert f \Vert_p\]

가 성립하므로 \(\Vert T \Vert_* \leq \Vert g \Vert_q\) 임을 알 수 있다.

반면, 함수 $g$ 의 켤레함수

\[g^{\ast} = \Vert g \Vert_q^{q-1}\mathrm{sgn}(g)\vert g\vert ^{q-1}\]

을 생각하면 이는 $L^p(E)$ 의 원소이므로 $T(g^\ast) = \Vert g\Vert_q$ 이고 $\Vert g\Vert_p = 1$ 이다. 따라서 선형범함수의 노음에 대한 두 번쨰 정의로부터 (상한을 이용한 정의) $\Vert T\Vert_\ast = \Vert g\Vert_q$ 임을 확인할 수 있다.

명제 3 NLS $X$ 에 대해 $T, S$ 가 유계선형범함수라고 하자, 만약 $X$의 조밀한 부분공간 $X_0$ 에서 $T=S$ 라면 $X$의 전역적으로도(globally) $T=S$ 이다.

앞에서 유계선형범함수의 선형성으로부터 립쉬츠 조건과 유계성이 동치임을 확인했다. 이로부터 노음공간 $X$에서 함수열 $f_n$이 $f$로 수렴하면 유계선형범함수 $T$에 대해서도 $T(f_n) \to f$ 이 성립한다는 것을 알 수 있다. 또한 이와 더불어 조밀성의 성질인 수렴한는 부분수열의 존재성을 이용하면 명제의 성립을 증명할 수 있다.

Lemma
$g$가 가측집합 E에서 적분가능하고, 임의의 단순함수 $f \in L^p(E)$ 에 대해 $\vert \int_E g\cdot f\vert \leq M \Vert f \Vert_p$ 를 만족하는 $M\geq 0$ 이 존재한다고 하자. 그러면 $g \in L^q(E)$ 이고 $\Vert g \Vert_q \leq M$ 을 만족한다.

THM 5 $L^p[a,b]$ 에서의 유계선형범함수 $T$ 에 대해 함수 $g \in L^q[a,b]$ 가 존재하여 임의의 $f \in L^p[a,b]$ 에 대해

\[T(f) = \int_a^b g\cdot f\]

를 만족한다.

Riesz Representation THM

임의의 함수 $g \in L^q(E)$ 에 대해 $L^p(E)$ 에서의 유계선형범함수를 다음과 같이 정의하자.

\[\mathcal{R}_g(f) = \int_E g\cdot f\]

그러면 $L^p(E)$ 의 각각의 유계선형범함수 $T$에 대해 유일한 $g \in L^q(E)$ 가 대응되어

\[\mathcal{R}_g = T. \quad \Vert T\Vert_\ast = \Vert g \Vert_q\]

를 만족한다.

증명

우선, 정의된 선형범함수 \(\mathcal{R}_{g}\) 가 명제 2에서의 꼴과 동일하므로 이는 $L^{p}(E)$ 에서 유계인 선형범함수이다. 또한 \(\Vert \mathcal{R}_g\Vert_{\ast} = \Vert g \Vert_q\) 임을 을 명제 2로부터 알 수 있다. 또한, 적분의 선형성으로부터 \(g_1,g_2 \in L^q(E)\) 이면 다음을 만족하는 것은 자명하다.

\[\mathcal{R_{g_1}-R_{g_2} = R_{g_1-g_2}}\]

$f \in L^p[-n,n]$ 에 대해 범함수열 $T_n$ 을 $T_n(f) = T(\hat{f})$ 이도록 정의하자. 여기서 $\hat{f}$ 는 함수 $f$ 를 $[-n,n]$ 에서 실수 전체 범위로 확장한 것을 뜻한다. 이때, 두 함수 $f, \hat{f}$ 의 노음이 동일하므로,

\[\vert T_n(f)\vert =\vert T(\hat{f})\vert \leq \Vert T\Vert_\ast \cdot\Vert\hat{f}\Vert_p = \Vert T\Vert_\ast\cdot\Vert f\Vert_p\]

가 모든 $f \in L^p[-n,n]$ 에 대해 성립함을 알 수 있다.

또한 정리 5로부터, $T_n(f) = \int_{-n}^n g_n\cdot f$ 이고 $\Vert g_n \Vert_q \leq \Vert T\Vert_\ast$ (식 1) 을 만족하는 함수열 $g_n \in L^q[-n,n]$ 가 존재함을 알 수 있다. 이때 함수열 $g_n$에 대해 $[-n,n]$ 에서 $g = g_n$ 인 실수 집합에서 가측인 함수 $g$ 를 잡자. $f \in L^p(\mathbb{R})$ 을 $[-n,n]$ 외부에서 소멸하도록 하면,

\[T(f) = \int_\mathbb{R} g\cdot f\]

가 정의될 수 있다. 그러면 식 1로부터

\[\int_{-n}^n\vert g\vert ^q \leq (\Vert T\Vert_\ast)^q\]

가 성립하고, $T$ 가 유계선형범함수 이므로 $g \in L^q(\mathbb{R})$ 이다. 또한, $L^p(\mathbb{R})$ 의 조밀한 부분집합을 잡는데, 유계구간 $[-n,n]$의 밖에서 소멸하는 함수들로 구성하자. 그러면 부분집합에서 $T=\mathcal{R}_g$ 이고, 명제 3으로부터 $L^p(\mathbb{R})$ 의 전역에서도 $T=\mathcal{R}_g$ 가 성립한다.

이제 이를 임의의 가측집합 $E$로 확장하자. $L^p(E)$ 에서의 유계선형범함수 $T$ 를 잡고, $L^p(\mathbb{R})$ 에서 $\hat{T}(f)=T(f\vert_E)$ 를 만족하는 선형범함수 $\hat{T}$ 를 잡자. 그러면 증명의 2번 내용들로부터 $\hat{g}\in L^q(\mathbb{R})$ 이 존재하여 $\hat{T}(f) = \int_\mathbb{R} \hat{g}\cdot f$ 를 만족한다, 함수 $g$ 를 $\hat{g}\vert_E$ 로 정의하면 $T = \mathcal{R}_g$ 가 성립한다.

References

• Royden, H., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real analysis. China Machine Press.