L^p 공간에서의 측도의 약한 수렴

정의

L^p 공간에서의 함수열의 수렴을 정의하기 위해서는 노음선형공간에서의 함수열의 수렴이 먼저 정의되어야 한다. Def 노음선형공간 $X$의 함수열 $f_n$이 $f$ 로 약한 수렴한다는 것 ($f_n \to f$) 은 다음을 의미한다.

\[\lim_nT(f_n) = T(f)\quad \forall T \in X^\ast\]

Def $f_n$이 $f$로 강한 수렴하는 것은 다음을 의미한다.

\[\vert T(f_n)-T(f)\vert = \vert T(f_n-f)\vert \leq \Vert T\Vert_\ast \Vert f_n-f\Vert \\ \text{for } \forall T \in X^\ast\]

위의 두 정의로부터, 만약 함수열 $f_n$ 이 노음선형공간에서 강하게 수렴하면, 약하게도 수렴함을 앐 수 있다. 바로 이전에 살펴본 리즈 표현 정리를 이용하면 다음과 같은 $L^p$ 공간에서의 명제를 얻을 수 있다.

명제 6 $L^p(E)$ 공간애서의 $f_n \to f$ (약한 수렴)과 임의의 $g \in L^q(E)$ 에 대해

\[\lim_n\int_E g\cdot f_n = \int_E g\cdot f\]

임은 동치이다.

리즈표현정리로부터 $L^p(E)$ 의 임의의 선형 범함수 $T$는

\[T(f_n) = \int_E g\cdot f_n\]

꼴로 정의된다 ($g \in L^q(E)$). 따라서 양변에 극한을 취하면 좌변은 선형범함수의 성질로부터 $T(f)=\int_E g\cdot f$ 가 되므로 동치관계가 성립한다.

THM 7 함수열 $f_n$이 $f$로 $L^p(E)$ 에서 약한수렴한다고 하자. 그러면 $f_n$ 은 유계이고,

\[\Vert f\Vert_p \leq \Vert f_n\Vert_p\]

가 성립한다.

pf. 부등식에 대한 증명 횔더의 부등식으로부터 다음을 알 수 있다.

\[\int_E f^\ast\cdot f_n \leq \Vert f^\ast\Vert_q\cdot\Vert f_n\Vert_p = \Vert f_n\Vert_p\]

이때 함수열 $f_n$ 이 $f$ 로 약한수렴하고, $f^{\ast} \in L^q(E)$ 이므로

\[\Vert f\Vert_p = \int_E f^\ast\cdot f = \lim_n\int_Ef^\ast\cdot f_n \leq \liminf\Vert f_n\Vert_p\]

유게성에 대한 증명은 귀류법을 이용해 증명하면 된다. (Reference 참고)

따름정리 $L^p(E)$ 의 함수열 $f_n$ 이 $f$로 약한수렴하고, $L^q(E)$ 의 함수열 $g_n$이 $g$로 강하게 수렴하면 다음이 성립한다.

\[\lim_n\int_Eg_n\cdot f_n = \int_E g\cdot f\]

위 정리 7에 의해 약한수렴하는 함수열에 대해 노음이 유계이므로 $\Vert f_n\Vert_p \leq C$ 인 양수 C가 존재한다. 이와 강한 수렴의 정의를 이용하면 성립하는 것을 쉽게 확인가능하다.

이전 게시글에서 살펴본 것 처럼 $L^p$ 공간의 단순함수들로 이루어진 부분공간은 조밀하다. 또한, 단순함수는 유한 support 를 가지므로, 이를 통해 약한 수렴에 대한 다음의 두 정리를 이끌어낼 수 있다.

THM 10 $L^p(E)$ 의 유계함수열 $f_n$이 $f \in L^p(E)$ 으로 약한 수렴하는 것과, 모든 E의 가측부분집합 A에 대해

\[\lim_n\int_A f_n = \int_A f\]

은 동치이다.

THM 11
$L^p[a,b]$ 의 유계함수열 $f_n$이 $f \in L^p[a,b]$ 으로 약한 수렴하는 것과, 모든 $x \in [a,b] $에 대해

\[\lim_n\int_a^x f_n = \int_a^x f\]

은 동치이다.

다음과 같은 예시를 살펴보자. 유계폐구간 $I=[0,1]$ 에서의 함수열 $f_n = n \cdot \chi_{(0,1/n]}$ 을 생각하자. 구간 I에서 $f=0$ 으로 두면, $f_n$ 은 $L^1[0,1]$ 에 속하고, $f$ 로 점별수렴하는 것을 알 수 있다. 반면, 정리 11을 이용해 약한 수렴여부를 판정해보자.
$g=\chi_{(0,1]} \in L^\infty[0,1]$ 을 잡으면

\[\lim_n\int_0^1g\cdot f_n = \lim_n\int_0^1 f_n =1\]

인 반면,

\[\int_0^1 g\cdot f = \int_0^1f=0\]

이므로 약한수렴이 성립하지 않는다는 것을 확인가능하다. 이처럼 $L^1$ 공간에서는 점별수렴이 약한수렴으로 이어지지는 않는다. 반면 $p>1$ 인경우 $L^p$ 공간에서는 점별수렴이 주어지면 약한수렴 역시 보장된다.

THM 12 가측집합 E와 $1<p<\infty$ 에 대해 $f_n$이 $f$로 점별수렴하는 유계함수열일 경우 약한수렴한다.

함수열 $f_n$ 이 점별수렴하므로, $\vert f_n\vert ^p$ 역시 점별수렴한다. Fatou’s Lemma로부터 $\int_E\vert f\vert ^p<\infty$ 이므로 $f \in L^p(E)$ 이다. 정리 11을 이용해 약한수렴을 보이기 위해 임의의 가측부분집합 $A\subset E$ 에서의 적분 극한의 일치성을 보이자.
$f_n$ 이 $L^p(E)$ 에서의 유계함수열이므로 {$f_n$} 은 균등적분가능하다. (횔더 부등식으로부터 유도가능) 따라서, 비탈리 수렴정리로부터,

\[\lim_n\int_A f_n = \int_A f\]

가 성립한다.

라돈-리즈 성질 Radon-Riesz property

가측집합 $E$와 $p>1$에 대해 다음 두 조건을 동시에 만족하는 것과 $\lim_n\Vert f-f_n\Vert = 0$ 은 동치이다.

  1. 함수열 $f_n$ 이 $f$로 $L^p(E)$ 에서 약한수렴한다.
  2. $\lim_n\Vert f_n\Vert_p = \Vert f\Vert_p$

References

  • Royden, H., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real analysis. China Machine Press.

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